La solution!

Le problème

Voici un problème que Sam Loyd a imaginé lors d'une promenade de Bixley à Quixley à dos de mule. Ecoutons son récit:

"Je demandai à Don Pedro, mon guide, qui marchait devant, tirant la mule par la bride, si celle-ci était capable d'une autre allure. Elle en avait une autre, mais elle était plus lente, me dit-il. Je dus donc me résigner à cette vitesse uniforme. Afin d'encourager Don Pedro qui constituait ma principale force de propulsion, je lui annonçai que nous passerions par Pixley pour y prendre quelque rafraîchissement. A partir de ce moment il devint incapable de penser à autre chose qu'à Pixley. Après avoir voyagé pendant 40 minutes, je demandai combien de chemin nous avions fait, il me répondit: 'La moitié de ce qui nous reste jusqu’à Pixley'. Après avoir péniblement progressé de sept kilomètres supplémentaires, je demandai: 'Sommes-nous encore loin de Quixley?' Il me répondit: 'Moitié moins loin que de Pixley'. Il nous fallut encore une heure pour arriver à Quixley, ce qui me conduit à demander quelle est la distance qui sépare Bixley de Quixley."

La solution

Le croquis ci-dessus permet de résumer la promenade de Sam Loyd. On note par B, P et Q les trois villes et par M et N les endroits où Sam Loyd pose ses questions.

Récapitulons: après 40 minutes de promenade (point M), Sam Loyd demande combien de chemin ont-ils déjà parcouru et Don Pedro répond: "La moitié de ce qui nous reste jusqu'à Pixley". Autrement dit, ils ont parcouru en 40 minutes le tiers de la distance entre B et P.

Après 7 km, (point N) Sam Loyd demande à quelle distance sont-ils de Q et Don Pedro répond: "Moitié moins loin que de Pixley". Autrement dit, il leur reste à parcourir un tiers de la distance entre P et Q.

De là, deux raisonnements sont possibles:

D'une part, comme le tiers de la distance entre P et Q (distance NQ) est parcouru en 60 minutes, la distance entre P et N a été parcourue en 120 minutes. D'autre part, comme le tiers de la distance entre B et P (distance BM) est parcouru en 40 minutes, la distance entre M et P a été parcourue en 80 minutes. Il aura donc fallu 200 minutes pour couvrir 7 km. Le temps total de la promenade étant de 300 minutes, le trajet mesure 10,5 km.Comme la distance entre M et P vaut les deux tiers de la distance entre B et P et que la distance entre P et N vaut les deux tiers de la distance entre P et Q, la distance entre M et N représente les deux tiers de la distance totale. Comme la distance entre M et N est de 7 km, la distance totale est de 10,5 km.

Université de Genève, RTSdécouverte

Adapté de Les casse-tête mathématiques de Sam Loyd, Martin Gardner, Editions Dunod, Paris, 1970.