![Le triangle ABC [SFV]](https://img.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-chimie/probleme-du-mois/2013/image/mzgzea-27879401.image?w=1280&h=720 "Le triangle ABC [SFV]")
Tous les mois, retrouvez ici le problème du mois, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de juillet 2013, on parle d'un triangle équilatéral.
Il existe plusieurs démonstrations, en voici une algébrique :
Considérer les trois triangles ABP, BCP et CAP (voir sur l’image).
La somme de leurs aires est égale à l’aire totale du triangle ABC.
L’aire d’un triangle se calcule à l’aide de la formule (base x hauteur)/2.
On considère les côtés du triangle ABC comme bases de ces triangles et les segments XP, YP et ZP et comme leurs hauteurs. En assimilant les segments à leur longueur, on peut donc écrire :
(AB x XP)/ 2 + (BC x YP)/ 2 +(CA x ZP)/ 2 = (AB x h)/ 2
On multiplie à gauche et à droite par deux :
(AB x XP) + (BC x YP) +(CA x ZP) = AB x h
Comme le triangle ABC est équilatéral, on a AB = BC = CA. On remplace donc BC et CA par AB :
(AB x XP) + (AB x YP) +(AB x ZP) = AB x h
Et on met AB en évidence:
AB x (XP + YP + ZP) = AB x h
Enfin, on multiplie à gauche et à droite par AB :
XP + YP + ZP = h
Université de Genève, RTSdécouverte
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