Les prisonniers libérés sont ceux des cellules 1, 4, 9, 16 et 25.
En effet, pour qu’une cellule soit ouverte à la fin de l’opération, il faut que son bouton ait été tourné un nombre impair de fois; il s’agit donc de comprendre quand le bouton d’une cellule est tourné.
Si on traduit les instructions du président en termes mathématiques, on a
Tournez successivement d’un demi-tour les boutons:
- de toutes les portes,
- puis celui des cellules dont le numéro est un multiple de 2,
- puis celui des cellules dont le numéro est un multiple de 3,
- puis celui des cellules dont le numéro est un multiple de 4.
- …
Par exemple, comme 6 est multiple de 1 (comme tout nombre), 2, 3, et 6, le bouton de la cellule 6 sera tourné 4 fois. Mais 1, 2, 3 et 6 sont exactement les Diviseurs de 6. Donc, le bouton d’une cellule est tourné exactement autant de fois que le numéro de la cellule a de diviseurs. Reste à savoir quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs.
Les diviseurs vont toujours par paire (par exemple, 1×6 = 2×3 = 6) ; les seuls nombres ayant un nombre impair de diviseurs sont les carrés parfaits car c’est seulement dans ce cas qu’un diviseur est apparié avec lui-même (par exemple 16 = 1×16 = 2×8 = 4×4).
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