![Une question de probabilités [Fotolia - milankubicka]](https://img.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-chimie/probleme-du-mois/2016/image/q4zem4-27796795.image?w=1280&h=720 "Une question de probabilités [Fotolia - milankubicka]")
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de novembre, on vous proposait de travailler sur les probabilités filiales...
L'énigme
Le mois dernier, nous avons reçu, sur la plate-forme de Questions-Réponses de RTS Découverte, la question suivante, à laquelle nous vous proposons de réfléchir:
Mon arrière-grand-père a eu cinq fils, mon grand-père cinq fils, mon père trois fils et moi deux fils.
Parmi toutes les familles comportant 5, 5, 3 et 2 enfants respectivement par génération, quelle est la probabilité d’une telle lignée familiale?
La solution
Il s’agit ici de calculer la probabilité d'avoir uniquement des garçons
En règle générale, on considère qu'il y a une chance sur deux pour qu'un bébé soit un garçon et que le sexe d'un bébé n’est pas influencé par le sexe de ses aînés.
Voyons alors pour commencer quelle est la probabilité pour un couple d’avoir 5 fils sur 5 enfants. Pour chaque fils, la probabilité est de ½ , et il faut multiplier ces probabilités entre elles pour obtenir la probabilité finale, c'est-à-dire:
(½)5 = 1/32 = 3,125 %
Attention, ceci n’est valable que dans le cas où nous avons les 5 enfants du même sexe. En effet, si parmi les 5 enfants il y avait par exemple 4 garçons et 1 fille, il faudrait multiplier par 5 cette probabilité pour tenir compte des 5 configurations d'ordre de naissance:
FGGGG GFGGG GGFGG GGGFG GGGGF
Au final, pour notre lignée particulière, nous avons
(½)5 ∙ (½)5 ∙ (½)3 ∙ (½)2 = (½)15 = 1/32768 ≈ 0,00305 %
Ou encore environ 3,05/100'000. Autrement dit, comme l'explique le Dr Estella Poloni qui a répondu à la question sur RTSdécouverte,
Si l’on choisissait au hasard 100'000 lignées à 5, 5, 3 et 2 enfants, on s'attendrait en moyenne à en observer 3 comme celle-ci.
Remarquons que nous avons utilisé ici la loi Binomiale qui permet de calculer la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès lorsque l'on répète un nombre donné de fois la même expérience aléatoire possédant deux issues possibles (réussite ou échec) et dont la probabilité de chaque issue est indépendante des expériences précédentes.
Remarquons aussi, que la probabilité d’avoir un garçon est plutôt de 51% est donc un résultat plus précis serait (0,51)15 ≈ 0,00411 = 4,11/100'000. Ce qui représente tout de même 35% d’augmentation relative.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
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